Den Ofen auf 425F vorheizen.

Für die Kruste: Die Walnüsse in einer Küchenmaschine fein mahlen. In einer großen Schüssel mit Weizenvollkornmehl, Allzweckmehl, 2 Esslöffeln Thymian und/oder Rosmarin, je 3/4 Teelöffel Salz und Pfeffer vermischen. In der Mitte eine Vertiefung machen und 1/2 Tasse Öl und Wasser hinzufügen. Die feuchten Zutaten nach und nach in die trockenen Zutaten einrühren, so dass ein weicher Teig entsteht (er wird feuchter erscheinen als andere Teigtypen). In der Schüssel kneten, bis der Teig zusammenhält. Den Teig zu einer Scheibe formen, in Plastikfolie einwickeln und mindestens 15 Minuten oder bis zu 3 Tage in den Kühlschrank legen.

Füllung zubereiten: Süßkartoffeln, 1 Esslöffel Öl, 1/2 Teelöffel Salz und 1/4 Teelöffel Pfeffer in einer großen Schüssel vermischen. Auf drei Viertel eines großen, umrandeten Backblechs verteilen. Die Zwiebel in der Schüssel mit 1 Teelöffel Öl schwenken. Gleichmäßig auf dem restlichen Viertel des Backblechs verteilen. 10 Minuten lang rösten. Aus dem Ofen nehmen. Die Temperatur auf 375 Grad reduzieren.

Eine Arbeitsfläche mit Pergamentpapier oder einer Antihaft-Backmatte auslegen, leicht mit Mehl bestäuben und die Oberseite des Teigs mit Mehl bestäuben. Den Teig zu einem rustikalen 15-Zoll-Kreis ausrollen und bei Bedarf mehr Mehl hinzufügen, damit er nicht klebt. Die Kruste mit dem Pergament oder der Backmatte auf ein Backblech legen.

Die Kruste gleichmäßig mit Käse bestreuen, dabei einen Rand von etwa 5 cm frei lassen. Die größeren Süßkartoffelscheiben überlappend auf den Käse legen, dabei den 2-Zoll-Rand stehen lassen. Die Zwiebelscheiben in einem weiteren Ring näher zur Mitte hin verteilen. Mit den restlichen Süßkartoffelscheiben einen überlappenden Kreis in der Mitte der Kruste formen (das Muster wird wie eine Zielscheibe aussehen). Die Ränder der Kruste mit einem Spatel anheben und über die Füllung klappen, dabei den Teig nach Bedarf in Falten legen (es ist in Ordnung, wenn der Teig beim Falten ein wenig reißt); die Füllung wird nicht vollständig bedeckt sein. Die Kruste mit dem Eiweiß bepinseln. Das Gemüse mit dem restlichen 1 Teelöffel Öl beträufeln und mit 1 Teelöffel Thymian und/oder Rosmarin bestreuen.

Den Kuchen backen, bis er an den Rändern leicht gebräunt ist, etwa 50 Minuten. Vor dem Aufschneiden 10 Minuten abkühlen lassen.